奧數數論數的整除
奧數數論數的整除1
題目：一個五位數恰好等于它各位數字和的20xx倍，則這個五位數是
答案：因為20xx是9的倍數，所以，這個五位數一定是9的倍數，那么它的各位數字和一定是9的倍數．由于五位數的各位數字之和最大為45，所以，可以從9、18、27、36、45進行試值．
如果數字和為9，那么這個五位數為，然而18063各位數字之和不為9，所以此時不成立；
如果數字和為18，那么這個五位數為，36126各位數字之和為18，所以此時成立；
如果數字和為27，那么這個五位數為，54189各位數字之和為27，所以此時成立；
如果數字和為36，那么這個五位數為，然而72252各位數字之和不為36，所以此時不成立；如果數字和為45，那么這個五位數為 ，然而90315各位數字之和不為45，所以此時不成立；綜上可知，這個五位數為36126或54189．
分析：此題是利用了9的整除特點，再進行分類枚舉來驗證。本題看起來覺得無從下手，但是利用9的特點可以得到很多信心，數字3也有同樣的效果，所以大家再遇到數論問題時，應該先想一想里面是否有3、9這樣特殊的倍數。
奧數數論數的整除2
一、基本概念和符號：
1、整除：如果一個整數a，除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有余數，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。
2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“ ”;因為符號“∵”，所以的符號“∴”;
二、整除判斷方法：
1。 能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。
2。 能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。
3。 能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。
4。 能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。
5。 能被7整除：
�、倌┤簧蠑底炙M成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。
6。 能被11整除：
�、倌┤簧蠑底炙M成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。
�、谄鏀滴簧系臄底趾团c偶數位數的數字和的差能被11整除。
�、壑鸫稳サ糇詈笠晃粩底植p去末位數字后能被11整除。
7。 能被13整除：
�、倌┤簧蠑底炙M成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。
�、谥鸫稳サ糇詈笠晃粩底植p去末位數字的9倍后能被13整除。
三、整除的性質：
1。 如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a—b）也能被c整除。
2。 如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。
3。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數整除。
例題：
在四位數56□2中，被蓋住的十位數分別等于幾時，這個四位數分別能被9，8，4整除？
解：如果56□2能被9整除，那么
5+6+□+2=13+□
應能被9整除，所以當十位數是5，即四位數是5652時能被9整除;
如果56□2能被8整除，那么6□2應能被8整除，所以當十位數是3或7，即四位數是5632或5672時能被8整除;
如果56□2能被4整除，那么□2應能被4整除，所以當十位數是1，3，5，7，9，即四位數是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。
奧數數論數的整除3
把一個數由右邊向左邊數，將奇位上的數字與偶位上的數字分別加起來，再求它們的差，如果這個差是11的倍數（包括0），那么，原來這個數就一定能被11整除。
例如：判斷491678能不能被11整除。
—→奇位數字的和9+6+8=23
—→偶位數位的和4+1+7=12 23—12=11
因此，491678能被11整除。
這種方法叫"奇偶位差法"。
除上述方法外，還可以用割減法進行判斷。即：從一個數里減去11的10倍，20倍，30倍……到余下一個100以內的數為止。如果余數能被11整除，那么，原來這個數就一定能被11整除。
又如：判斷583能不能被11整除。
用583減去11的50倍（583—11×50=33）余數是33， 33能被11整除，583也一定能被11整除。
�。�1）1與0的特性：
1是任何整數的約數，即對于任何整數a，總有1|a。
0是任何非零整數的倍數，a≠0，a為整數，則a|0。
�。�2）若一個整數的末位是0、2、4、6或8，則這個數能被2整除。
�。�3）若一個整數的數字和能被3整除，則這個整數能被3整除。
�。�4） 若一個整數的末尾兩位數能被4整除，則這個數能被4整除。
�。�5）若一個整數的末位是0或5，則這個數能被5整除。
�。�6）若一個整數能被2和3整除，則這個數能被6整除。
（7）若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數；又例如判斷6139是否7的倍數的過程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍數，余類推。
�。�8）若一個整數的未尾三位數能被8整除，則這個數能被8整除。
�。�9）若一個整數的數字和能被9整除，則這個整數能被9整除。
�。�10）若一個整數的末位是0，則這個數能被10整除。
�。�11）若一個整數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除，則這個數能被11整除。11的倍數檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理！過程唯一不同的是：倍數不是2而是1！
�。�12）若一個整數能被3和4整除，則這個數能被12整除。
�。�13）若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，加上個位數的'4倍，如果差是13的倍數，則原數能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。
�。�14）若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，減去個位數的5倍，如果差是17的倍數，則原數能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。
�。�15）若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，加上個位數的2倍，如果差是19的倍數，則原數能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。
�。�16）若一個整數的末三位與3倍的前面的隔出數的差能被17整除，則這個數能被17整除。
�。�17）若一個整數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除，則這個數能被19整除。
（18）若一個整數的末四位與前面5倍的隔出數的差能被23（或29）整除，則這個數能被23整除。
奧數數論數的整除4
例1.在四位數56□2中，被蓋住的十位數分別等于幾時，這個四位數分別能被9，8，4整除?
解：如果56□2能被9整除，那么
5+6+□+2=13+□
應能被9整除，所以當十位數是5，即四位數是5652時能被9整除;
如果56□2能被8整除，那么6□2應能被8整除，所以當十位數是3或7，即四位數是5632或5672時能被8整除;
如果56□2能被4整除，那么□2應能被4整除，所以當十位數是1，3，5，7，9，即四位數是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。
到現(xiàn)在為止，我們已經學過能被2，3，5，4，8，9整除的數的特征。根據整除的性質3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數能否被6整除，因為6=2×3，2與3互質，所以如果這個數既能被2整除又能被3整除，那么根據整除的性質3，可判定這個數能被6整除。同理，判斷一個數能否被12整除，只需判斷這個數能否同時被3和4整除;判斷一個數能否被72整除，只需判斷這個數能否同時被8和9整除;如此等等。
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