四年級(jí)奧數(shù)基礎(chǔ)：頁(yè)碼問題
顧名思義，頁(yè)碼問題與圖書的頁(yè)碼有密切聯(lián)系。事實(shí)上，頁(yè)碼問題就是根據(jù)書的頁(yè)碼而編制出來(lái)的一類應(yīng)用題。
編一本書的頁(yè)碼，一共需要多少個(gè)數(shù)碼呢?反過來(lái)，知道編一本書的頁(yè)碼所需的數(shù)碼數(shù)量，求這本書的頁(yè)數(shù)。這是頁(yè)碼問題中的兩個(gè)基本內(nèi)容。
為了順利地解答頁(yè)碼問題，我們先看一下“數(shù)”與“組成它的數(shù)碼個(gè)數(shù)”之間的關(guān)系。一位數(shù)共有9個(gè)，組成所有的一位數(shù)需要9個(gè)數(shù)碼;兩位數(shù)共有90個(gè)，組成所有的兩位數(shù)需要2×90=180(個(gè))數(shù)碼;三位數(shù)共有900個(gè)，組成所有的三位數(shù)需要3×900=2700(個(gè))數(shù)碼……為了清楚起見，我們將n 位數(shù)的個(gè)數(shù)、組成所有n位數(shù)需要的數(shù)碼個(gè)數(shù)、組成所有不大于n位的數(shù)需要的數(shù)碼個(gè)數(shù)之間的'關(guān)系列表如下：
由上表看出，如果一本書不足100頁(yè)，那么排這本書的頁(yè)碼所需的數(shù)碼個(gè)數(shù)不會(huì)超過189個(gè);如果某本書排的頁(yè)碼用了10000個(gè)數(shù)碼，因?yàn)?/p>
2889<10000<38889，所以這本書肯定是上千頁(yè)。
下面，我們看幾道例題。
例1一本書共204頁(yè)，需多少個(gè)數(shù)碼編頁(yè)碼?
分析與解：1～9頁(yè)每頁(yè)上的頁(yè)碼是一位數(shù)，共需數(shù)碼
1×9=9(個(gè));
10～99頁(yè)每頁(yè)上的頁(yè)碼是兩位數(shù)，共需數(shù)碼
2×90=180(個(gè));
100～204頁(yè)每頁(yè)上的頁(yè)碼是三位數(shù)，共需數(shù)碼
(204-100+1)×3=105×3=315(個(gè))。
綜上所述，這本書共需數(shù)碼
9+180+315=504(個(gè))。
例2一本小說的頁(yè)碼，在排版時(shí)必須用2211個(gè)數(shù)碼。問：這本書共有多少頁(yè)?
分析：因?yàn)?89<2211<2889，所以這本書有幾百頁(yè)。由前面的分析知道，這本書在排三位數(shù)的頁(yè)碼時(shí)用了數(shù)碼(2211-189)個(gè)，所以三位數(shù)的頁(yè)數(shù)有
(2211-189)÷3=674(頁(yè))。
因?yàn)椴坏饺坏捻?yè)數(shù)有99頁(yè)，所以這本書共有
99+674=773(頁(yè))。
解：99+(2211--189)÷3=773(頁(yè))。
答：這本書共有773頁(yè)。
例3一本書的頁(yè)碼從1至62、即共有62頁(yè)。在把這本書的各頁(yè)的頁(yè)碼累加起來(lái)時(shí)，有一個(gè)頁(yè)碼被錯(cuò)誤地多加了一次。結(jié)果，得到的和數(shù)為2000。問：這個(gè)被多加了一次的頁(yè)碼是幾?
分析與解：因?yàn)檫@本書的頁(yè)碼從1至62，所以這本書的全書頁(yè)碼之和為
1+2+…+61+62
=62×(62+1)÷2
=31×63
=1953。
由于多加了一個(gè)頁(yè)碼之后，所得到的和數(shù)為2000，所以2000減去1953就是多加了一次的那個(gè)頁(yè)碼，是
2000--1953=47。
例4有一本48頁(yè)的書，中間缺了一張，小明將殘書的頁(yè)碼相加，得到1131。老師說小明計(jì)算錯(cuò)了，你知道為什么嗎?
分析與解：48頁(yè)書的所有頁(yè)碼數(shù)之和為
1+2+…+48
=48×(48+1)÷2
=1176。
按照小明的計(jì)算，中間缺的這一張上的兩個(gè)頁(yè)碼之和為1176--1131=45。這兩個(gè)頁(yè)碼應(yīng)該是22頁(yè)和23頁(yè)。但是按照印刷的規(guī)定，書的正文從第 1頁(yè)起，即單數(shù)頁(yè)印在正面，偶數(shù)頁(yè)印在反面，所以任何一張上的兩個(gè)頁(yè)碼，都是奇數(shù)在前，偶數(shù)在后，也就是說奇數(shù)小偶數(shù)大。小明計(jì)算出來(lái)的是缺22頁(yè)和23 頁(yè)，這是不可能的。
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