關(guān)于初中奧數(shù)題
地上有四堆石子，石子數(shù)分別是1、9、15、31如果每次從其中的三堆同時(shí)各
取出1個(gè)，然后都放入第四堆中，那么，能否經(jīng)過若干次操作，使得這四堆石子的個(gè)數(shù)都相同?
不能
1、9、15、31的平均數(shù)是14
因?yàn)槊坎僮饕淮胃淖円淮纹媾夹?/p>
即:第奇次操作后每堆數(shù)量是偶數(shù)
第偶次操作后每堆數(shù)量是奇數(shù)
所以,需要奇數(shù)次操作
又因?yàn)?它們除以3的余數(shù)分別是1,0,0,1,結(jié)果都是2
而每一次操作后有奇數(shù)堆(3堆)改變余數(shù)結(jié)果
所以,要有偶數(shù)堆改變余數(shù)結(jié)果需要偶數(shù)次操作
在本題中,4堆都要改變,所以需偶數(shù)次操作
矛盾,所以結(jié)果是不可能的
下面是幾何
Ⅰ四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連結(jié)EF交BD、AC于M、N，若AC=BD，求證：OM=ON
�、蛩倪呅蜛BCD中，E、F、P、Q分別是AD、BC、BD、AC的'中點(diǎn)，M、N分別是PB、QC的中點(diǎn)，求證EF平分MN。
�、笏倪呅蜛BCD中，AB=CD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，BA延長線交FE延長線于點(diǎn)G，CD延長線交FE延長線于點(diǎn)H。求證：,∠BGF=∠CHF。
�、粼凇鰽BC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，延長BC到M，N是BM的中點(diǎn)，H是EN的中點(diǎn)，連結(jié)DH交BM于F。求證：CF=FM
�、酢鰽BC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，E是BC中點(diǎn)，求證：AB=2DE
�、鎏菪蜛BCD中，AB平行DC，∠D+∠C=90°，E、F分別是AB、DC的中點(diǎn)，求證：EF=1/2(DC-AB)
Ⅶ已知AH是△ABC中∠BAC的角平分線，在AB、AC上分別截取BD=CE，M是DE的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，求證：MN平行AH
�、阎鰽BC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CM⊥BC交BD延長線于M，MF⊥AB于F。求證：BE=EF
以下主要用到平行四邊形的基本性質(zhì)和角平分線定理(若AD平分角BAC，交BC于D，則AB/AC=BD/BC。證明也是用中位線的。)
I 過D作AC的平行線，過C作AD的平行線，二者相交于G，延長EF交DG于H。則ACGD是平行四邊形，從而對(duì)角線AG與CD互相平分，于是A、F、G三點(diǎn)共線且EF是三角形ABG的中位線。這樣，EF平行于BG，角DMH=角DBG，角DHM=角DGB。但是DG=AC=BD，所以三角形DBG是等腰三角形，于是角DBG=角DGB，得到角DMH=角DHM。又因?yàn)镈G平行于AC，角DHM=角ONM，而角DMH與角OMN是對(duì)頂角，從而角ONM=角 OMN，得到OM=ON。
II 由中位線性質(zhì)可知，EPFQ是平行四邊形，從而EF平分PQ。設(shè)EF交PQ于O，則ON是三角形QPC的中位線，于是ON平行于CP且 ON=1/2(CP)。另外，F(xiàn)M是三角形BPC的中位線，于是FM平行于CP且FM=1/2(CP)。這樣，F(xiàn)MON是平行四邊形，對(duì)角線互相平分，于是FO平分MN，也即EF平分MN。
III 將三角形DEH旋轉(zhuǎn)180度，使得D與A重合。設(shè)C、H、F分別變成I，J，K。則角IKE=角CFE，從而IK平行于BF。但是BF=FC=IK，于是 BF與IK平行且相等，即：BFKI是平行四邊形，于是BI平行于JG。于是角AIB=角AJG，角ABI=角AGJ。此時(shí)由于AI=CD=AB，角 AIB=角ABI，于是角AJG=角AGJ。但是角AJG=角DHE，于是角DHE=角AGJ，也即角BGF=角CHF。
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